Liczba kwantowa magnetyczna

        Wspomnieliśmy, że wprowadzone poprzednio dwa warunki kwantowe, wynikające z uwzględnienia płaskiego ruchu elektronu po orbicie eliptycznej, nie wystarczają np. do wyjaśnienia zjawiska Zeemana. Wrócimy obecnie do tego zjawiska.
        W roku 1896 Zeeman stwierdził, że linie widmowe ulegają rozszczepieniu, gdy ciało wysyłające promieniowanie poddane jest działaniu silnego pola magnetycznego. Zjawisko to było częściowo wyjaśnione na gruncie elektrodynamiki klasycznej. Sommer-feld dał wyjaśnienie kwantowe tzw. normalnego zjawiska Zeemana, wprowadzając trzecią liczbę kwantową, tzw. liczbą kwantową magnetyczną, związaną z kwantowaniem przestrzennym. Spróbujemy krótko przedstawić bieg rozumowania.
        W dotychczasowych rozważaniach uwzględnialiśmy tylko ruch płaski elektronu po kole lub elipsie odbywający się w stałej płaszczyźnie, bez określenia położenia tej płaszczyzny w przestrzeni. Z punktu widzenia mechaniki klasycznej wszystkie ustawienia płaszczyzny toru elektronu w przestrzeni są równie możliwe. Sommerfeld przewidział istnienie tylko pewnych dozwolonych - skwantowanych położeń. Żeby jednak mówić o określonych, dozwolonych położeniach danej płaszczyzny w przestrzeni, trzeba mieć jakiś układ odniesienia, trzeba ustalić jakiś wybrany kierunek odniesienia. Ten wyróżniony kierunek występuje wyraźnie wtedy, gdy atom znajduje się w polu magnetycznym. Pole takie zakłóca ruch elektronu, ale wywołane zakłócenie można zaniedbać, gdy pole jest bardzo słabe. Zakłócający wpływ pola magnetycznego wiąże się ściśle z momentem magnetycznym orbitalnym, jaki w poprzednim punkcie przypisaliśmy elektronowi. Moment magnetyczny elektronu można myślowo kojarzyć z małym dipolem magnetycznym, umieszczonym w środku orbity prostopadle do jej powierzchni. Na dipol magnetyczny działa w polu magnetycznym para sił usiłująca obrócić go tak, aby ustawił się w kierunku pola H. Trzeba jednak pamiętać, że omawiany dipol wynika z krążenia elektronu po orbicie. Z ruchem tym wiąże się moment pędu również prostopadły do płaszczyzny orbity. W wyniku działania pary sił na dipol (związany z poruszającym się po orbicie elektronem) rozpoczyna się precesja, podczas której wektor momentu magnetycznego i wektor momentu pędu (oba prostopadłe do płaszczyzny orbity) opisują pobocznicę stożka dokoła kierunku pola magnetycznego jako osi (rys. 30.14). Każdemu ustawieniu w przestrzeni wektora momentu pędu odpowiada prostopadłe ustawienie płaszczyzny orbity elektronu. A więc podczas precesji odbywa się w przestrzeni ciągła zmiana położenia płaszczyzny orbity, z zachowaniem jej prostopadłości do wektora momentu pędu p, który jest stale odchylony od kierunku H o kąt a. Takie dwa położenia płaszczyzny orbity I i II związane z nimi położenia wektorów p1 i p2 zaznaczone są na rys. 30.14.
        Istnienie pola magnetycznego wpływa na stan energetyczny elektronu. Zmiana energii elektronu wywołana istnieniem pola magnetycznego zależy od ustawienia płaszczyzny orbity elektronu względem kierunku pola, co można ująć inaczej, mówiąc o zależności ΔE od kąta a, czyli od kąta między kierunkiem pola H i momentem magnetycznym elektronu (lub jego momentem pędu). Zmiany energii zachodziłyby w sposób ciągły, gdyby wszystkie ustawienia płaszczyzny orbity w przestrzeni (wszystkie wartości kąta a) były możliwe. Wystąpiłoby wtedy poszerzenie linii widmowych, rozciągnięcie ich w rodzaj pasma. Wyniki badań doświadczalnych są inne: w polu magnetycznym zamiast rozszerzenia linii obserwuje się ich rozszczepienie. Aby wyjaśnić to zjawisko, trzeba wprowadzić założenie o kwantowaniu przestrzennym, a mianowicie, aby być w zgodzie z doświadczeniem, trzeba przyjąć, że tylko takie ustawienia orbitalnych momentów pędów w przestrzeni są możliwe, przy których ich rzut pn na wyróżniony kierunek pola magnetycznego jest całkowitą wielokrotnością wielkości h/2π, czyli:

gdzie m oznacza liczbę kwantową magnetyczną.

        Z rysunku 30.14 widać, że rzut pm momentu pędu p na kierunek pola H równa się:

gdzie a jest kątem między kierunkiem pola i kierunkiem wektora p. Kąt a może przyjmować skwantowane wartości w granicach od zera do π, a zatem cos α* ma kwantowe wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne. Liczba kwantowa magnetyczna m może przyjmować wartości całkowite dodatnie lub ujemne, w granicach od -l do +l, tzn. ogółem (2l+1) wartości

        Przykład kwantowania przestrzennego, dla liczby kwantowej l = 4 przedstawiony jest na rys. 30.15. Liczba kwantowa l = 4 oznacza, że orbitalny moment pędu elektronu wynosi 4h/27t. Przyjmując zatem za jednostkę wielkość h/2π odłożymy moment pędu jako wektor o długości równej czterem jednostkom. Gdyby nie było ograniczeń związanych z kwantowaniem przestrzennym, wektor ten, o początku w punkcie O, mógłby się ustawiać dowolnie, a zatem jego koniec przypadałby na kuli o promieniu równym 4 jednostkom. W rzucie na płaszczyznę rysunku koniec wektora p mógłby zajmować dowolne położenia na kole (o promieniu r równym 4 jednostkom) zakreślonym z punktu O. Na rys. 30.15 zaznaczone jest tylko półkole.
        Kwantowanie przestrzenne sprowadza się do: 1) uwzględnienia wyróżnionego kierunku (kierunek H na rysunku) i 2) wybrania spośród wszystkich ustawień przestrzennych wektora p tylko takich, przy których rzut jego na kierunek H równa się całkowitej liczbie (jednostek h/2π), a więc 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4. Widzimy, że dla / = 4 mamy 9 takich możliwych skwantowanych położeń.