Kwantowe własności promieniowania

        Promieniowanie ciała doskonale czarnego. Z doświadczenia wiemy, że dowolne ciało ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury zaczyna wysyłać promieniowanie widzialne, przy czym, jak wynika z obserwacji, ciało ogrzane do temperatury wyższej promieniuje bardziej intensywnie niż ciało o niższej temperaturze. Wskazuje to na ścisły związek między natężeniem promieniowania ciała a jego temperaturą. Proces wysyłania promieniowania przez ciało zachód/1 w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego (T> 0 K) i nosi nazwy promieniowania cieplnego. Promieniowanie to jest wynikiem wysyłania prze/ ciało fal elektromagnetycznych.
          Długości fal promieniowania cieplnego ciał o wysokich temperaturach (np. włókna żarówki, Słońca, plazmy - patrz rozdz. 9) leżą w zakresie widzialnym ultrafioletowym, a nawet rentgenowskim widma fal elektromagnetycznych (poi 4.1). Ciała o temperaturach niższych wysyłają promieniowanie z zakresu podczerwieni (np. żelazko, ciało ludzkie), a o bardzo niskich - z zakresu fal radiowych.
Ilość wysyłanego przez dane ciało promieniowania o danej długości fali określa widmowa zdolność emisyjna Rx, zdefiniowana jako moc AP promieniowania wysyłanego z jednostki powierzchni AS ciała w jednostkowym prze dziale długości fal AX9 czyli:

Całkowita zdolność emisyjna R ciała jest to moc promieniowania w całym zakresie długości fal, wysyłanego z jednostki powierzchni ciała. Wyraża się ona całką:

Zdolności emisyjne ciała, zarówno widmowa jak i całkowita, zależą od rodzaju ciała i jego temperatury.
          Teoretyczny opis promieniowania cieplnego przeprowadza się dla wyidealizowanego ciała, zwanego ciałem doskonale czarnym. Jest to ciało, które pochłania całkowicie padające nań promieniowanie. Chociaż takie ciało nie istnieje w przyrodzie, możemy zbudować model będący w dobrym przybliżeniu ciałem doskonale czarnym.
          Wyobraźmy sobie wnękę wydrążoną w dowolnym ciele, połączoną z otoczeniem niewielkim otworem (rys. 6.1). Promieniowanie padające na ten otwór i dostające się do wnęki będzie ulegało wielokrotnemu odbiciu od ścianek wnęki, wskutek czego zostanie prawie całkowicie pochłonięte zanim odbita wiązka trafi z powrotem do otworu. Otwór wnęki ma zatem własności ciała doskonale czarnego; np. otwarte okno zawsze wydaje się ciemne, gdy patrzeć nań z ulicy.

Rys. 6.1. Model ciała doskonale carnego

Rys. 6.2. Wykresy widmowej zdolności emisyjnej dla wolframu (linia ciągła) i ciała doskonale czarnego (linia przerywana)

          Ciało doskonale czarne ma ważną własność, mianowicie:

Ciało doskonale czarne ma maksymalną zdolność w każdej temperaturze.

        Na rysunku 6.2 pokazano rozkład wiadomych zdolności emisyjnych wolframu i ciała doskonale czarnego w temperaturze 2000 K_ Z porównania krzywych widzimy, że wolfram ma znacznie niższą zdolność emisyjną niż ciało doskonale czarne.

          Wzór Wiena. Pierwszą teorię promieniowania dała doskonale czarnego stworzył Wien. Sądził on, że podobieństwo krzywych rozkładu promieniowania ciała doskonale czarnego (rys 6.2) do krzywych maxwellowskiego rozkładu prędkości (rys. 3.2) wynika stąd, że cząsteczki w gorącym ciele stałym mają rozkład prędkości podobny do rozkładu prędkości Maxwella. Prędkościom tym powinny odpowiadać odpowiednie termiczne przyspieszenia ruchu cząsteczek.
 

Ponieważ cząsteczki są obdarzone elektrycznymi ładunkami, więc zgodnie z elektrodynamiką klasyczną skutkiem ich niejednostajnego ruchu jest wysyłane promieniowanie cieplne. Opierając się na tych spostrzeżeniach Wien dopasował do krzywej doświadczalnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego odpowiedni wzór empiryczny na rozkład zdolności emisyjnej względem długości fali, analogiczny do rozkładu Maxwella. Otrzymany w ten sposób wzór ma postać

gdzie stałe CX\C2 noszą odpowiednio nazwę pierwszej i drugiej stałej emisyjnej. Wartości stałych Ct i C2 dobrano tak, aby uzyskać dobrą zgodność z doświadczeniem w obszarze fal krótkich (rys. 6.3). W zakresie fal długich obliczone na podstawie wzoru (6.3) wartości zdolności emisyjnej były znacznie mniejsze od wyników doświadczalnych.

Wzór Rayleigha-Jeansa. Rozpatrywali oni ciało doskonale czarne w postaci wnęki mające zwierciadlane ścianki. Wewnątrz takiej wnęki powstają wówczas elektromagnetyczne fale stojące, podobne do fal stojących wytwarzanych w strunie, w pręcie metalowym lub w rezonatorze akustycznym, w których obok drgania podstawowego występuje szereg wyższych harmonicznych. Pomijając szczegółowe rozważania dotyczące wyprowadzenia wzoru na zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego przytoczymy związek, jaki uczeni ci otrzymali na liczbę fal powstałych w jednostce objętości wnęki, które mają długości fal w przedziale od X do X + dX; ma on postać

Każdej z tych fal można przyporządkować dwa stopnie swobody (dla kinetycznej i potencjalnej energii oscylatora) i każdemu z nich przypisać energię kT/2, co oznacza, że każdej fali odpowiada całkowita energia równa kT. Mnożąc liczbę

fal przypadających na jednostkę objętości wnęki przez kT otrzymamy wzór Rayleigha-Jeansa

Wykres zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego sporządzony według tego wzoru pokazano na rys. 6.3. Chociaż wzór ten z punktu widzenia fizyki dasycznej opierał się na ścisłych i nie budzących wątpliwości założeniach,
zakresie fal krótkich dawał on wyniki absurdalne w porównaniu z danymi doświadczalnymi i przeczył prawu zachowania energii.
Niezgodność wzoru Wiena z doświadczeniem w istocie nic nowego nie
nosiła w poznanie fizyki promieniowania, gdyż był to wzór empiryczny,
natomiast niezgodność wzoru Rayleigha-Jeansa z doświadczeniem świadczyła
błędnych przedstawieniach rzeczywistości w fizyce klasycznej, ponieważ metoda, która doprowadziła do tego wyniku nie budziła wątpliwości z punktu ?vidzenia teorii fizyki klasycznej.
          Wzór Plancka. Pierwszym z licznego grona badaczy, któremu udało się 'związać poprawnie zagadnienie promieniowania ciała doskonale czarnego, był Max Pianek. Założył on mianowicie, że energia przypadająca na jeden stopień swobody oscylatora nie jest równa kT, lecz całkowitej liczbie r pomnożonej przez pewną bardzo małą porcję energii e, oraz że liczba oscylatorów nm o energii rc podlega rozkładowi Boltzmanna (patrz wzór (3.18)), czyli że

Energia nm oscylatorów wynosi zatem

Średnią energię pojedynczego oscylatora obliczymy z zależności

Wprowadzając do tej zależności oznaczenie x - exp( - s/kT) i uwzględniając, że r jest liczbą całkowitą - możemy zależność tę zapisać w postaci

Dla x < 1 szeregi występujące w liczniku i mianowniku są zbieżne. Suma szeregu występującego w liczniku wynosi (1 - x)~ 2, a suma szeregu występującego w mianowniku (1 -x) l. Podstawiając te wartości odpowiednio do licznika i mianownika, i wracając do poprzednich oznaczeń, po prostych przekształceniach otrzymamy

Mnożąc otrzymany wynik przez wyrażenie (6.4), tj. przez liczbę fal zawartych w jednostce objętości wnęki, otrzymamy wzór na gęstość energii przypadającej na przedział długości fal dl, czyli

          Dla dowolnie małej wartości e (tj. dla długich fal promieniowania cieplnego) wyrażenie etlkT K l+e/ZcT Podstawiając tę wartość do wzoru (6.11) widzimy, że wzór ten przekształca się we wzór Rayleigha-Jeansa. Z kolei pamiętając, że wzór Wiena dobrze zgadza się z wynikami doświadczalnymi dla fal krótkich, dla których zachodzi eE/kT > 1, możemy nie popełniając dużego błędu pominąć we wzorze (6.11) wyraz 1 w mianowniku. Wyrażenie (6.11) będzie podobne do wzoru Wiena (6.3), jeżeli wykładniki będą równe, tzn. gdy

Wyznaczając z tej równości e i zastępując iloczyn C2k przez iloczyn nowej stałej h pomnożonej przez prędkość światła c, otrzymamy

Nowa stała h nosi nawę stałej Plancka. Jej wartość, wyznaczona na podstawie zjawiska fotoelektrycznego (patrz p. 6.2), wynosi h - 6,62-10 ~34Js. Korzystając z zależności (6.12) wzór (6.11) możemy zapisać w postaci

Wzór ten dobrze się zgadza z wynikami doświadczalnymi, co przedstawiono na rys. 6.3.
          Wnioski wynikające z teorii Plancka mają fundamentalne znaczenie dla fizyki współczesnej. Wynika z niej, że promieniowanie nie ma charakteru ciągłego, lecz ma charakter dyskretny - energia promieniowania jest wysyłana porcjami. Energia promieniowania ciała doskonale czarnego nie może zatem przyjmować dowolnych wartości, lecz musi być wielokrotnością kwantu energii, wyrażonego wzorem (6.12). Powyższa własność nazywa się kwantowością. Kwanty energii promieniowania elektromagnetycznego nazywa się fotonami.

          Korzystając z hipotezy kwantów, Pianek wyprowadził wzór na widmową zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego

Przez scałkowanie RA względem X otrzymujemy wyrażenie na całkowitą zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego

gdzie k - stała Boltzmanna (patrz p. 3.1). Związek (6.15) zapisuje się często w postaci

przy czym a = 5,67o 10 -8 W/m2 . K4. Jest to prawo Stefana-Boltzmanna, które mówi, że:
          Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej.
          Dla dowolnego ciała rzeczywistego emisja promieniowania ma mniejszą wartość i można ją wyrazić wzorem

gdzie A oznacza zdolność absorpcyjną danego ciała. Dla ciała doskonale czarnego .4 = 1, dla ciał rzeczywistych 0 < A < 1. Ciało doskonale odbijające ma A = 0.

        Widmowa zdolność emisji (patrz rys. 6.2) ma wartość maksymalną dla pewnej długości fali Xmax, którą możemy obliczyć z warunku na ekstremum funkcji R_λ , tj. z warunku:

Różniczkując wyrażenie (6.14) względem X dochodzimy do prostej zależności

gdzie b = 2898-10 6 m-K. Wzór (6.18) nazywa się prawem przesunięć Wiena. Zgodnie z nim:
          Ze wzrostem temperatury maksimum promieniowania ciała przesuwa się w stronę fal krótszych.
          Efekt taki obserwujemy bez trudu jako zmianę barwy ciała, które ogrzewamy do wysokiej temperatury.