Warunki kwantowe Sommerfelda

        Gdybyśmy poprzestali na podaniu powyższych wiadomości, stworzylibyśmy fałszywy obraz rzeczywistości. Pozostalibyśmy pod błędnym wrażeniem, że model Bohra tłumaczy wszystkie wyniki badań spektroskopowych dotyczące wodoru i jonów wodo-ropodobnych. Tymczasem stosując spektrografy o dużej zdolności rozdzielczej (por. § 28.4) stwierdzono, że obserwowane linie widmowe nie są pojedyncze, lecz składają się z dwóch lub więcej linii o bardzo bliskich długościach fali. Temu rozszczepieniu linii widmowych nadano nazwę subtelnej struktury widma. Zaobserwowane zjawisko próbowano wyjaśnić wykorzystując model o Bohra -r niestety bez rezultatów. Wyjaśnienie nowych faktów doświadczalnych wymagało wprowadzenia nowych założeń i uzupełnień, czyli konieczne było przejście do obrazu modelowego bardziej skomplikowanego.
        Z mechaniki wiadomo, że pod wpływem działania sił odwrotnie proporcjonalnych do kwadratu odległości (np. siły kulombowskie, grawitacyjne) mogą występować nie tylko ruchy po kole. Sommerfeld wprowadził do modelu atomu orbity eliptyczne. W jednym z ognisk elipsy, zakreślanej przez elektron, znajduje się jądro atomowe. Koło jest specjalnym przypadkiem elipsy, której oba ogniska zlały się w jednym punkcie. A zatem przypadek, uwzględniający kołowy ruch elektronu zbadany przez Bohra, jest szczególnym przypadkiem ujęcia ogólniejszego, podanego przez Sommerfelda.
Rozważając ruch płaski elektronu po elipsie we współrzędnych biegunowych r i φ (rys. 30.8) uwzględniać należy tzw. pęd radialny pr, wynikający ze zmiany r przy zmianie <p (nie istniejący w przypadku ruchu kołowego) oraz moment pędu p9y wynikający z ruchu po orbicie. Sommerfeld zakłada, że obie wielkości p, i pv są skwantowane. Innymi słowy, zastąpienie ruchu kołowego ruchem eliptycznym zwiększyło liczbę warunków kwantowych do dwóch. Oba warunki kwantowe można formułować w różny sposób. Wygodnie nam będzie podać je od razu w postaci zgodnej z wynikami mechaniki falowej. Jedna z liczb kwantowych będzie się wiązała z energią elektronu na orbicie, druga- z kształtem orbity i z momentem pędu na orbicie (por. wzór (30.15)). Pierwszą z nich w dalszym ciągu będziemy oznaczać literą n i nazywać liczbą kwantową główną:
                                                                                                    n = 1, 2, 3, ... oo.
Drugą liczbę nazywać będziemy liczbą kwantową poboczną lub azymutalną i oznaczać symbolem /. Zakładamy, że liczba / przyjmuje wartości
                                                                                                    I = 0,l,2,...(n-l).

Liczba kwantowa główna określa możliwe wartości energii całkowitej elektronu na elipsie. Pierwotnie zakładano, że energia En na orbicie eliptycznej wyraża się wzorem

a więc wzorem całkowicie zgodnym z wzorem (30.9), wyrażającym energię elektronu na orbicie kołowej w atomie wodoru. (Wprowadzenie czynnika Z2 uogólnia wzór (30.9) na pierwiastki o liczbie atomowej Z > 1.) Założenie to jest uzasadnione, gdyż z praw dynamiki wynika, że energia ta zależy tylko od długości wielkiej osi elipsy, a nie zależy od jej kształtu.
Liczba kwantowa / określa małą oś elipsy. Im ta liczba jest mniejsza, tym elipsa jest bardziej wydłużona; gdy / = n- 1, elipsa przechodzi w koło. Na przykład dla n - 3 mamy trzy możliwe wartości /, a mianowicie: 0, 1 i 2. Pierwszym dwóm wartościom odpowiadają elipsy różnych kształtów (rys. 30.9), trzeciej - koło.

                                  Początkowo moment pędu elektronu na orbicie wyrażano

Innymi słowy, w tym ujęciu liczba I przedstawia moment pędu na orbicie wyrażony to jednostkach h\2n. Z tego uproszczonego ujęcia będziemy dalej korzystali (por. omówienie rys. 30.13), aczkolwiek w ujęciu mechaniki kwantowej całkowity moment pędu spełnia równanie

Dalsza konfrontacja wyników teoretycznych i doświadczalnych wykazała, że zachodzi konieczność wniesienia nowej poprawki do stworzonego obrazu. Prędkość elektronu na orbitach osiąga duże wartości. Na przykład w przypadku elektronu krążącego na podstawowym torze w atomie wodoru stosunek jego prędkości v do prędkości światła c wynosi, zgodnie z wzorem (30.7),

czyli v > 2000 km/s. Wobec tak dużych prędkości zachodzi konieczność relatywistycznego uwzględniania zmian masy. Sommerfeld uwzględnił tę poprawkę i wykazał, że ruch elektronu odbywa się po torze przedstawionym na rys. 30.10.
W tych warunkach energia elektronu na torze zależy już od kształtu elipsy. Widać to ze wzoru Sommerfelda na energię elektronu "na orbicie n w atomie wodoru:

We wzorze tym występują obie liczby kwantowe n i /. Warto dłużej zatrzymać się przy tej zależności. Ze wzoru (30.17) wynika, iż różnym wartościom l przy tym samym n odpowiadają różne energie, czyli że poziom energetyczny odpowiadający liczbie n, który dotychczas uważaliśmy za pojedynczy, ulega rozszczepieniu na kilka bliskich siebie poziomów. Poziom n = 1 nie ulega rozszczepieniu, gdyż odpowiada mu tylko jedna wartość 7=0. Rozszczepienie poziomów energetycznych przedstawia rys. 30.11.
Tłumaczy ono rozszczepienie linii widmowych, czyli strukturę subtelną widma, o której już wcześniej była mowa.
Przejście od modelu Bohra do modelu bardziej skomplikowanego z poprawkami Sommerfelda rozszerzyło więc zakres zjawisk, które można tłumaczyć modelowo. Bohr wprowadzając jedną liczbę kwantową wyjaśnił mechanizm powstawania serii widmowych w wodorze; Sommerfeld wprowadzając dwie liczby kwantowe był już w stanie wytłumaczyć subtelną strukturę tego widma.
Jednak dalsze jeszcze fakty doświadczalne wymagały wyjaśnienia z punktu widze
nia modelowej budowy atomu, m.in. zjawisko Zeemana. Do tych spraw wrócimy
jeszcze w § 30.9.